CENTRO DE BACHILLERATO TECNOLOGICO INDUSTRIAL Y DE SERVICIOS (CBTis) 252
TEMAS:
1.- PRECALCULO
1.1.- SISTEMA DE COORDENADAS LINEALES Y RECTANGULARES
1.2.-DESIGUALDADES
1.3.- INTERVALOS
2.- FUNCIONES
2.1.- DOMINIO Y CONTRADOMINIO
2.2.- OPERACIONES Y COMPORTAMIENTO
3.- LIMITES
3.1.- LIMITES DE UNA FUNCION
3.2.- CONTINUIDAD DE UNA FUNCION
4.-DERIVADAS
4.1 RAZON DE CAMBIO: PROMEDIO DE INTERPRETACION GEOMETRICA
4.2.-DERIVACION DE FUNCIONES
4.3.- DERIVADAS SUCESIVAS
“Si la gente no piensa que las matemáticas son simples, es solo porque no se dan cuenta de lo complicada que es la vida”.
John Von Neumann.
1.- PRECALCULO
1.1.- SISTEMA DE COORDENADAS
LINEALES Y RECTANGULARES
LINEALES Y RECTANGULARES
1.1.1.- SISTEMA DE COORDENADAS
LINEALES
LINEALES
un punto cualquiera puede asociarse y representarse en un sistema de coordenadas lineales a la derecha cuando es positivo y ala izquierda cuando este es negativo,el punto origen se encuentra en el centro y toma el valor de cero, la recta llamada x se considera un espacio vectorial de una dimension y se le pueden aplicar todas la operaciones correspondientes a espacios vectoriales , tambien se le llama recta real.
Consideremos el punto x=3 en la recta real.
Este punto es frontera entre y > 3 . Es decir, si graficamos en la recta todos los puntos para los cuales se cumple < 3 , la gráfica incluirá todos los puntos que están a la izquierda de 3. De igual forma, si graficamos en la recta todos los puntos para los cuales se cumple > 3 , la gráfica incluirá todos los puntos que están a la derecha de 3, como se muestra en la siguiente figura:
1.1.2.-SISTEMA DE COORDENADAS RERCTANGULARES
rectas perpendiculares que se intersecan en un punto “O” al que se le llama
“el origen”. Una de las rectas se acostumbra representarla en posición
horizontal y se le da el nombre de eje X o eje de las abscisas; a la otra recta,
vertical, se le denomina eje Y o eje de las ordenadas, y ambas constituyen los
dos ejes de coordenadas rectangulares, los cuales dividen al plano en cuatro
partes llamadas cuadrantes.
ejemplo:
1.2 DESIGUALDADES
las desigualdades en calculo diferencial son expresiones parecidas a las ecuaciones de primer grado solo que en este caso no buscamos representar una igualdad , si no por el contrario una inequivalencia.
Propiedades de las desigualdades:
Desigualdad de mismo sentido
Suma y resta de desigualdades
Multiplicaciones de desigualdades|
Producto de una desigualdad
ejemplos de desigualdades:
2x-3 < 4x+6:
2x-4x < 6+3
-2x < 9 (-1)
2x > -9
x > -9/2
VÍDEO: DESIGUALDADES:
1.3 INTERVALO
Se llama intervalo al conjunto de números reales comprendidos entre otros dos dados: a y b que se llaman extremos del intervalo.
Intervalo abierto
Intervalo abierto, (a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores que b.
(a, b) = {x 
/ a < x < b}
/ a < x < b} 
Intervalo cerrado
Intervalo cerrado, [a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b.
[a, b] = {x / a ≤ x ≤ b}
/ a ≤ x ≤ b} 
Intervalo semiabierto por la izquierda
Intervalo semiabierto por la izquierda, (a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores o iguales que b.
(a, b] = {x / a < x ≤ b}
/ a < x ≤ b} 
Intervalo semiabierto por la derecha
Intervalo semiabierto por la derecha, [a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores que b.
[a, b) = {x / a ≤ x < b}
/ a ≤ x < b} 
Cuando queremos nombrar un conjunto de puntos formado por dos o más de estos intervalos, se utiliza el signo 
(unión) entre ellos.
(unión) entre ellos. SEGUN LA POSICION DE LOS NUMEROS QUE FORMAN LA DESIGUALDAD EN LA RECTA REAL EL INTEVALO ESTARA CERRADO , ABIERTO O SEMI-CERRADO.
2.- FUNCIONES
una función (f) es una relacion entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito).
En lenguaje cotidiano o más simple, diremos que las funciones matemáticas equivalen al proceso lógico común que se expresa como “depende de”.
Las funciones matemáticas pueden referirse a situaciones cotidianas, tales como: el costo de una llamada telefónica que depende de su duración, o el costo de enviar una encomienda que depende de su peso.
A modo de ejemplo, ¿cuál sería la regla que relaciona los números de la derecha con los de la izquierda en la siguiente lista?:
1 --------> 1
2 --------> 4
3 --------> 9
4 --------> 16
Los números de la derecha son los cuadrados de los de la izquierda.
La regla es entonces "elevar al cuadrado":
1 --------> 1
2 --------> 4
3 --------> 9
4 --------> 16
x --------> x2.
Para referirse a esta regla podemos usar un nombre, que por lo general es la letra f (de función). Entonces, f es la regla "elevar al cuadrado el número".
Usualmente se emplean dos notaciones:
x --------> x2 o f(x) = x2 .
Así, f(3) significa aplicar la regla f a 3. Al hacerlo resulta 32 = 9.
Entonces f(3) = 9. De igual modo f(2) = 4, f(4) = 16, f(a) = a2, etc.
SEGUN SUS CARACTERISTICAS LAS FUNCIONES PUEDEN SER INYECTIVAS, BIYECTIVAS Y SOBREYECTIVAS:
Puedes entender una función como una manera de conectar elementos de un conjunto "A" a los de otro conjunto "B":
"Sobreyectivo" significa que cada elemento de "B" tiene por lo menos uno de "A" (a lo mejor más de uno).
"Biyectivo" significa inyectivo y sobreyectivo a la vez. Así que hay una correspondencia perfecta "uno a uno" entre los elementos de los dos conjuntos.
Definiciones formales
Inyectivo
Una función f es inyectiva si, cuando f(x) = f(y), x = y.
Ejemplo: f(x) = x2 del conjunto de los números naturales 
a es una función inyectiva.
(Pero f(x) = x2 no es inyectiva cuando es desde el conjunto de enteros
(esto incluye números negativos) porque tienes por ejemplo
a es una función inyectiva.(Pero f(x) = x2 no es inyectiva cuando es desde el conjunto de enteros
(esto incluye números negativos) porque tienes por ejemplo- f(2) = 4 y
- f(-2) = 4)
Nota: inyectiva también se llama "uno a uno", pero esto se confunde porque suena un poco como si fuera biyectiva.
Sobreyectivo (o también "epiyectivo")
Una función f (de un conjunto A a otro B) es sobreyectiva si para cada y en B, existe por lo menos un x en A que cumple f(x) = y, en otras palabras f es sobreyectiva si y sólo si f(A) = B.Así que cada elemento de la imagen corresponde con un elemento del dominio por lo menos.
Ejemplo: la función f(x) = 2x del conjunto de los números naturales al de los números pares no negativos es sobreyectiva.
Sin embargo, f(x) = 2x del conjunto de los números naturales a no es sobreyectiva, porque, por ejemplo, ningún elemento de va al 3 por esta función.
al de los números pares no negativos es sobreyectiva.Sin embargo, f(x) = 2x del conjunto de los números naturales
a no es sobreyectiva, porque, por ejemplo, ningún elemento de va al 3 por esta función. Biyectiva
Una función f (del conjunto A al B) es biyectiva si, para cada y en B, hay exactamente un x en A que cumple que f(x) = yAlternativamente, f es biyectiva si es a la vez inyectiva y sobreyectiva.
Ejemplo: La función f(x) = x2 del conjunto de números reales positivos al mismo conjunto es inyectiva y sobreyectiva. Por lo tanto es biyectiva.
(Pero no desde el conjunto de todos los números reales porque podrías tener por ejemplo
- f(2)=4 y
- f(-2)=4)
VIDEO FUNCIONES Y GRAFICAS:
LAS FUNCIONES POSEEN ALGUNOS ATRIBUTOS QUE PODEMOS SIMPLIFICAR PARA FACILITAR SU COMPRENSION:
  | Lo que puede entrar en una función se llama e dominio. |
| Lo que es posible que salga de una función se llama codominio. |
Lo que en realidad sale de una función se llama rango.
|
Un límite es hasta donde podemos llegar, son los valores cercanos a aquel valor en el cual la función se indetermina, es decir, en donde el valor de la función sería 0. A éste valor se le conoce como c.
Límites directos
Por ejemplo, para encontrar el límite de 2x - 8 cuando x tiende a 3:
Se sustituye el valor al que tiende x en la función: = - 2
El resultado es igual al valor del límite.
Cálculo de Límites mediante factorización
Sin embargo, cuando al sustituir el valor del número al que tiende x el resultado del límite es igual a , la función se tiene que factorizar, para así poder encontrar el valor del límite, como es en el caso de la siguiente función:
=
Como el resultado es una indeterminación, se factoriza la función original:
(3+1) = 4
Cálculo de Límites mediante tablas
Otra manera de encontrar el límite de una función es por medio de una tabla. Esto se aplica cuando al sustituir el valor al que tiende x en la función ésta se indetermina, y además no hay manera de factorizar la función, como es el caso siguiente:
Por ello se construye una tabla con valores en t cercanos a 0, los cuales se sustituyen en la función, y se deduce cuál sería el valor que tomaría el límite.
t
| |
.3
|
0.058
|
.1
|
0.1745
|
.001
|
17.45
|
0
|
- - - -> 18
|
-.001
|
17.45
|
-1
|
0.1745
|
-3
|
0.058
|
Comprobando la existencia de límites
Como regla general, se sabe que un límite existe si cumple con la siguiente regla:
En ella, el valor de (x - c) debe de ser igual al valor de (f(x) - L)
Por ejemplo, comprobar que el límite de la función (3x - 7) es igual a 5 cuando x tiende a 4
.
Como el valor que corresponde a (x - c) es igual al de (f(x) - L), se comprueba que el límite existe.
Comprobando que el límite de la función es 2 cuando x tiende a 2, se tiene que:
Primero se tiene la función = 2
Para que realizar la comprobación de la existencia del límite sea más fácil, elevamos la función y el resultado al cuadrado, y se tiene que:
2x = 4
El límite existe, y
También puede darse el caso de que el límite no exista, por ejemplo, comprobar que el límite cuando x tiende a 3 de la función (x2 - 2x) es igual a 3
En éste caso, el límite no existe ya que el valor que corresponde a (x - c) es diferente al de (f(x) - L). En casos como éstos, se puede observar que dichos valores serían iguales si se pasara el término (x + 1) dividiendo a , sin embargo, no puede haber variables dividiendo a , sólo números.
Teoremas de Límites:
Teorema principal de límites: Sean n un número entero positivo, k una constante y f y g funciones con límites en c:
Teorema de sustitución: Si f es una función polinomial o una función racional, entonces:
Siempre que el denominador para c no sea cero en caso de una función racional.
VÍDEO :LIMITES
3.1 LIMITE DE UNA FUNCIÓN
EJEMPLO DE RESOLUCIÓN DE LIMITE DE UNA FUNCIÓN:
Idea intuitiva de límite
El límite de la función f(x) en el punto x0, es el valor al que se acercan las imágenes
(las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor x0. Es decir el valor al que tienden
las imágenes cuando los originales tienden a x0.
Vamos a estudiar el límite de la función f(x) = x
2
en el punto x0 = 2.
x f(x)
1,9 3,61
1,99 3,9601
1,999 3,996001
... ...
↓ ↓
2 4
x f(x)
2,1 4.41
2,01 4,0401
2,001 4,004001
... ...
↓ ↓
2 4
Tanto si nos acercamos a 2 por la izquierda (valores menores que 2) o la derecha
(valores mayores que 2) las imágenes se acercan a 4.
Se dice que el límite cuando x tiende a 2 de la función f(x) = x^2 es 4
2
se escribe lim x =4
cuando x -> 2
VÍDEO: LIMITES DE UNA FUNCIÓN:
3.2.-CONTINUIDAD DE UNA FUNCION:
se tiene al considerar que su gráfica es continua,
en el sentido que se puede dibujar sin levantar el lápiz
de la hoja de papel.
Continuidad de una función en un punto
Se dice que una función f(x) es continua en un punto x = a si y
sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:
1. Que el punto x= a tenga imagen.
2. Que exista el límite de la función en el punto x = a.
3. Que la imagen del punto coincida con el límite de la función en el punto.
Estudiar la continuidad de 
en x =2
en x =2
f(2)= 4
4.DERIVADAS
La derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente de
la recta tangente a la gráfica de la función en un punto.
ejemplo: derivación de un polinomio:
4.1.-RAZON DE CAMBIO PROMEDIO DE INTERPRETACION GEOMETRICA
La razón de cambio también conocida como taza de cambio, de variación o de transferencia de la función en el intervalo [a, a+h], que se representa por Δy, es la diferencia entre las ordenadas correspondientes a los puntos de abscisas a y a+h. Es decir, la medida en que una variable cambia con respecto a otra, como por ejemplo la velocidad, la cual es una razón de cambio del espacio con respecto al tiempo: lim(Dx/Dt, t tiende a cero).
RAZÓN DE CAMBIO PROMEDIO es el cociente de las diferencias de f durante el intervalo [a, b]. A la diferencia en las coordenadas x de los puntos de la gráfica de una función f se le llama incremento de x, se le denota mediante Δx que es igual a x2 – x1 es decir, Δx = x2 – x1 asimismo, Δy = y2 – y1 al formar el consiente de cambio en y con los cambios en x podemos escribir:Δy/Δx donde a este cociente llamamos razón de cambio promedio.Es decir, Δf(x)/Δx=[f(x+Δx)-f(x)]/ Δx |
Como su nombre lo dice, la razón de cambio promedio da una medición de cuanto cambia la función f cuando x cambia una cantidad “delta x”.
Un ejemplo muy empleado podría ser:
Cambio en distancia/Cambio en velocidad = d2-d1/v2-v1 = Δd/ Δv
EJEMPLO:
de alto, corre en la noche alejandose de un poste a la velocidad de 
el foco del poste que ilumina a Paulina esta a
de altura. A medida que se aleja del poste la sombra de lella crece (¿es verdad? o ¿realmente decrece?).Contestemos las siguientes preguntas
a.- ¿A qué velocidad cambia el largo de la sombra de Paulina ?
b.- El extremo de la sombra se aleja también del poste, la velocidad de este alejamiento ¿ es la misma velocidad de la niña? o ¿es la misma velocidad dada como respuesta a la pregunta anterior?.
Sea:
la distancia de la niña al poste en el instante 
el largo de la sombra de la niña en el tiempo 
y en término de estas variables, lo que buscamos para contestar la primera pregunta es 
Lo que debemos hacer es encontrar una relación en donde aparezca
y después derivar.Como los triángulos
y 
son semejantes (tienen los mismos ángulos), se da la siguiente relación entre los lados
y como conocemos cada derivada, la respuesta es no es igual a ninguna de las dos sugeridas, la velocidad del extremo de la sombra es 
Supongamos ahora que Pedrito es el que corre, pero a
´¿Cuál corre más rápido, Pedrito o la niña?
Si Pedrito mide
¿A qué velocidad el extremo de la sombra se aleja del poste?VÍDEO: DERIVADAS: RAZÓN DE CAMBIO:
4.2.-DERIVADA DE UNA FUNCIÓN:
DERIVADA:La derivada de una función en un punto “a” surge del problema de calcular la tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa “a”, y fue Fermat el primero que aportó la primera idea al tratar de buscar los máximos y mínimos de algunas funciones. En dichos puntos las tangentes han de ser paralelas al eje de abscisas, por lo que el ángulo que forman con éste es de cero grados. En estas condiciones, Fermat buscaba aquellos puntos en los que las tangentes fueran horizontales
La derivada de una función en un punto mide, por tanto, la pendiente de la tangente a función en dicho punto. Nos va a servir para estudiar el crecimiento o decrecimiento de una función o la concavidad o convexidad de la misma en los diferentes intervalos en los que se puede descomponer su campo de existencia.
. Es importante tener en cuenta que hay funciones que no tienen derivadas en un punto, y que para que una función tenga derivada, la función debe ser continua pero no todas las funciones continuas son derivables en todos sus puntos.
Considérense, como en los casos precedentes, dos funciones f y g definidas y derivables en un punto x. Además, en este caso, se tiene que imponer la condición de que la función g no se anule en x.
Si en la segunda fracción se suma y se resta al numerador f(x) · g(x), se obtiene:
Sacando factor común g(x) en los dos primeros sumandos de la segunda fracción, y f(x) en los dos últimos,
Por último, se toman límites cuando h tiende a cero notando que:
En definitiva,
4.3.- DERIVADAS SUCESIVAS
¿Qué es una Derivada Sucesiva? Al derivar una función puede ocurrir q la función resultante sea también derivable, en este caso la derivada de la primera derivada se llama la segunda derivada de la función primitiva. Análogamente, la derivada de la segunda se llama tercera derivada y así sucesivamente.
VÍDEO: DERIVADAS SUCESIVAS Y REGLA DE LA CADENA:
VÍDEO : INTERPRETACIÓN GEOGRÁFICA DE LA DERIVADA:
" SABEMOS LO QUE SOMOS , MAS NO LO QUE PODEMOS LLEGAR A SER"- WILLIAM SHAKESPEARE.
CREADO POR: YANET PEREZ PEREZ.
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